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2020-09-02 上次讲到我们开了一家拥有无穷房间的旅店。这个旅店非常神奇，哪怕已经客满，还同样可以再容纳无穷多的客人。上次那个无穷多数学上称为阿列夫零ϰ0，等同于所有自然数的个数。那么有没有可能来更多的客人让这家旅店也住不下呢，答案是能。但怎样构造这个更大的无穷多，让我们从一个象棋的故事说起。
传说古希腊的一个聪明人发明了国际象棋，献给了国王。国王非常喜欢这个游戏，决定重重奖赏这个聪明人，问他需要什么。这个聪明人说，请奖赏我大米。国际象棋棋盘有六十四个格子，请在第一个格子里放一粒米，第二个格子里放两粒米，第三个格子放四粒米，就这样每一个格子比前一个格子的米多一倍，把每个格子都放满就好了。
国王大概一想，感觉这个要求不难实现，就让大臣下去照办，然而整个粮仓都腾空了，还是没能把六十四个格子装够，这时那个聪明人早已经逃跑了。
粗粗一看这个人的要求并不多，然而细算下来要把64个格子都装满需要多少粒米呢？就算你心里有准备这个数字还是会吓你一大跳，居然是18,446,744,073,709,551,615粒米。按照2018年全球大米总产量约500百万吨计算，相当于全世界3000年的大米总产量。仅仅是64个格子。如果是围棋的361个节点，那么整个宇宙都放不下那么多大米。。。
这个连续相乘的运算在数学上叫幂。2的64次幂，记作(2 ^ 64)（就是连续64个2相乘，把64个格子装满需要的大米数目是 2 ^ 64 - 1）已经如此恐怖，那么2的ϰ0次幂 (2 ^ ϰ0) 又会如何呢？当然要比ϰ0大许多，数学上把这个数称为阿列夫一ϰ1。还记得开始我们介绍有理数和无理数吗。ϰ0等于全部自然数的个数，也等于全部有理数的个数。而ϰ1则等于全部无理数的个数，也等于全部实数的个数。
那么还有没有比ϰ1更大的数？有，叫做阿列夫二ϰ2。实际上这个序列可以一直排下去：ϰ0, ϰ1, ϰ2, ϰ3, …。每一个阿列夫数都是2的前一个阿列夫数的幂，既 ϰ(i+1) = 2 ^ ϰi。ϰ0等全部有理数的个数，ϰ1等于全部无理数的个数，ϰ2则等于全部函数的个数。至于ϰ3，人类目前想不出任何概念需要这么大的计数了。
在所有无穷大之中，ϰ0是最小的一个。然而这个最小已经足够颠覆人类的绝大部分认知了。佛经中佛陀为了向人们宣讲很大的数，他常用恒河的沙的数目，或三千大千世界的微尘数，有时还说如同恒河的沙那么多的恒河，再把那么多恒河的所有沙加在一起来比喻。然而这所有的比喻都只能给出有限的数字，它们放到ϰ0面前都如同零一样。只是人们在生活经验中，实在找不出任何真实的体验可以等同无穷大。
最小的无穷大是ϰ0，第二小的是ϰ1。在人类面前不可一世的ϰ0在ϰ1面前就变成了小乖乖，卑微的如同零。这时聪明的人们忍不住想既然ϰ0和ϰ1之间差距如此之大，那么会不会有介于二者之间的其他的无穷大，比如阿列夫0.5之类的数。这个猜想有个非常好听的名字叫做连续统假设。这个问题非常有趣，以至于20世纪初最有影响力的数学家希尔伯特在1900年巴黎数学家世纪年会上将它列为最重要的23个数学问题中的第一题。
然而上百年过去了，这个问题还是未能真正解决。人们对这个问题的最佳进展是有或者没有都可以说得通。怎么讲，如果假设存在介于ϰ0与ϰ1之间的无穷大，我们可以建立起一套合理的数学体系。但如果假设不存在介于ϰ0与ϰ1之间的无穷大，我们同样可以建立起一套合理的数学体系。结果等于人们真的不知道有没有这样的数存在，而且似乎没有任何办法可以证明或者验证是不是有这样的一个数的存在。
仔细想想，这个问题是不是和上帝是否存在非常相似。有神论者建立起一套有上帝的世界观，无神论者也同样建立起一套没有上帝的世界观。虽然双方都无法给出上帝存在还是不存在的确凿证明，但双方都可以很好地适应人类文明的发展。
几千年过去了，人类依然没能解决上帝是否存在这个问题，也许人类永远都无法解开这个谜，就如同连续统假设一般。连续统假设如此棘手，以至于有些数学家认为这个问题根本不是一个数学问题，它只是人在假设中的一个幻觉。因为人类根本无法经验无穷大，所以所有关于无穷大的讨论都出于一种幻想，而连续统假设碰巧是一个无解的幻想，所以只能依靠信心来选择它，而不要期待任何证明。难道上帝是否存在这个问题也是如此吗？
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发表于 2-9-2020 23:26:46
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发表于 3-9-2020 00:28:53
看看楼主后面对零有没有悲悯
楼主
