神奇的数学（III）- 无辜的殉道者

行者之心

2020-08-22

我们已经认识了不少数。首先是自然数，掰着手指就可以数的1，2，3。。。其次是有理数，就是两个自然数相除的商。负数是正数的镜像，零是个怪胎，好在它非常低调，而且数量只有一个，可以忍受。就这样我们构造出一切可以满足科学计算，有实用价值的数。

当时毕达哥拉斯志气满满，相信人类已经找到所有的数，并且坚信不仅上帝就是用这些数建筑了这个宇宙，甚至说这些数就是上帝。

然而，一个不幸的事件发生了。要理解这个事件的始末，我们还需要了解稍微多一点的数学知识，那就是勾股定理。

很多文明都独立地发现了勾股定理，中国人在公元前一千多年，古埃及人在公元前两千六百年前就有关于这个定理的记录。这个定理也被称为毕达哥拉斯定理，毫无疑问，他也是独立发现和证明这个定理的人之一。这个定理非常简单，记载中至少有367种不同的证明方法。定理的内容就是任意直角三角形，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理反过来也成立，就是任意一个三角形，如果它两边的平方和等于第三边的平方，那它就是一个直角三角形。有许多整数组可以满足这个条件，最简单的是3，4，5。如果一个三角形它的 三条边的长度分别是3,4,5，那么它就是一个直角三角形。

毕达哥拉斯的一个学生，也是毕达哥拉斯学派的忠实信徒，他发现如果一个直角三角形的两条直角边长度都为1的话，那么它的斜边长度根据沟谷定理就是根号二√2。而这个√2，他通过一个简单的证明，发现它居然不是一个有理数，也就是无法找到两个自然数，让它们的商等于√2。

这个发现是对毕达哥拉斯学派的致命打击，因为它意味着并不是所有数都是有理数，这等于挑战上帝是完全有理性的这一至高信念。毕达哥拉斯对此异常愤怒，于是下令把他的这个学生装到啤酒桶里淹死。

这个可怜的学生被淹死了，成为一个无辜的殉难者。然而虽然毕达哥拉斯可以淹死他的学生，但却无法淹死他学生给出的这个证明。（这个证明其实并不难，有兴趣的读者可以很容易在网上找到，也可以自己尝试证明，在这里我就不浪费大家的时间了。）于是人们发现了无理数。

有理数虽然无穷多，也无限密集，意思是说任何狭小的区间里有无穷多的有理数，而且如前面所说，有理数已经可以满足科学需要的任何精度的计算，实际上现在所有计算机处理的数原则上都是有理数。然而和无理数的数量比起来，怎么讲，根本无法比拟。比如我们把所有有理数当作一个原子，而所有无理数则比整个宇宙还要大。即使这样的比喻都没能反应出两者之间的真实差异，因为一个原子是有尺寸的，而我们的宇宙也是有限的。真实情况是所有有理数合在一起等于零，而所有无理数合作一起则是无穷大。

科学帮助我们认识这个物质世界，但数学则给我们开启一个远超越这个物质世界的真理窗口。无理数的发现让人们认识到理性对现实的超越性，即现实的有限性和真理的无限性。然而发现无理数只是探索无限真理的第一步，让我们看看神奇的数学又能给我们带来什么样的惊奇。

snapdragon

所以，凡是过往，皆为序章哦？有理数的证明过程打开了无理数之门，而无理数之门又只是探索无限真理的第一步。真的是神奇数学带来惊奇无限

欧阳京

无理数是无穷的，有理数也是无穷的。统称实数，则有穷了？

这里发一段文德尔班关于数学和哲学的讨论（P42）：

培根对于创造发明的实践目的的倾注使他看不见数学的理论价值。但
是此种价值最初为人所觉察是在荒诞的思想意识中，此荒诞的思想意识仿效
毕达哥拉斯的方式以新柏拉图主义的热情洋溢歌颂宇宙的数和谐（参阅第二
十九节）。伟大的自然研究者们的出发点即是此种同样的对自然的美、自
然的秧序的羡慕和欣赏；但是他们学说中新颖的东西恰恰基于：他们不再以
象征性的数抽象推论去探索宇宙秩序的数学意义，他们的目的在于根据事实
去理解、去证明此种数学意义。近代的自然研究是作为经验的毕达哥拉斯主
义而开始的。这个问题早已被列奥纳多·达·芬奇① 看出了，——而第一次解
决这个问题的光荣应属于开普勒。他作此探索的心理动机是在哲学上确信宇
宙的数学秩序；他证实了他的信念：他用大规模的归纳法发现了行星运动的
规律。

在此过程中，一方面表现出：自然科学中归纳法的真正任务在于找出这
样一种数学关系，此种数学关系同样存在于被度量所决定的现象的整个系列
中；另一方面表现出：与解决此项任务相关的科学研究的对象只可能是运动。
开普勒在宇宙中所探索的神圣的算术和几何在[事物的]发生和变化
（ Geschehens）的规律中找到了。伽里略从这原则出发，在方法上以更明确
的意识创建了作为运动的数学理论的力学。如将伽里略在《试金者》中所陈
述的思想与培根对自然界的解释相比较是有极大的启发性的。两个人的目的
都在分析存在于知觉中的现象元素并根据这些元素的组合去解释现象。但是
在培根的归纳法寻求“形式”的地方，伽里略的分析法却探索着最简单的、
由数学所规定的运动过程；对前者来说解释就是指出种种“性质”如何合作
形成经验结构，而后者则用综合法指出，在假定简单的运动要素的前提下数
学理论导致经验所呈现的同一结论① 。从这观点出发，实验又获得另一种完全
不同的意义：实验不仅是对自然界的一种敏锐的探询，而且是一种有目的的
干预，通过此种干预把事件分解为简单的形式，可以度量的对象。因此，培
根仅仅预感到的一切，在伽里略那里则利用数学原理，利用数学应用于运动，
得到对于研究自然界有用的、明确的意义；并根据这些力学原理，牛顿终于
利用万有引力假说提出解释开普勒定律的数学理论。

行者之心

欧阳京 发表于 23-8-2020 08:27
无理数是无穷的，有理数也是无穷的。统称实数，则有穷了？

这里发一段文德尔班关于数学和哲学的讨论（P4 ...

谢谢欧阳兄，这篇分享很有启发性

行者之心

annahw 发表于 22-8-2020 23:34
所以，凡是过往，皆为序章哦？有理数的证明过程打开了无理数之门，而无理数之门又只是探索无限真理的第一步 ...

数学的神奇才刚刚开始，我争取把我所知道的最为神奇的部分能简单地表达出来，让即使不喜欢甚至害怕数学的人都可以体会数学的奇妙。的确，在没有比数学距离上帝更近的了