求助一道幾何題

苏丝红

求證：用任意四邊形的四條邊為直徑，向四邊形內畫的四個半圓能覆蓋四邊形面積。

shyaka

这个很简单。
javascript:;
如图所示，四边形内任意一点P到四边形的四个顶点作连线，形成了4个角：APB,BPC,CPD,DPA。

首先是基础知识：
当圆的直径的两端点和任意一个点Q形成的以Q点为顶点的角度=90°时，Q在半圆上；
当圆的直径的两端点和任意一个点Q形成的以Q点为顶点的角度<90°时，Q在半圆外；
当圆的直径的两端点和任意一个点Q形成的以Q点为顶点的角度>90°时，Q在半圆内；

然后开始证明：
因为角APB+角BPC+角CPD+角DPA=360°；
所以这4个角中至少有一个角>=90°；

因为底边AB,BC,CD,DA是四个圆的直径；
所以P点必在其中一个半圆内或半圆上；

因为P点是四边形内任意一点；
所以这四个半圆覆盖了整个四边形。

苏丝红

因为底边AB,BC,CD,DA是四个圆的直径；
所以P点必在其中一个半圆内或半圆上；
這個可以理解， 不過如何得出：
因为P点是四边形内任意一点；
所以这四个半圆覆盖了整个四边形？

腦子愚笨，請再指教。

苏丝红

突然明白了，謝謝

苏丝红

shyaka人才！

Tbaussie

superopengl

楼上的证法不严密，没有证明XPY为锐角时的情况。

我的证法：
连对角线AC，从B引垂线交AC于Q，从D引垂线交AC与P。至此四边形被分为四个直角三角形。

因圆上任意一点与直径必为直角三角形，得出点P比在圆AD和圆CD上，点Q比在圆AB和圆BC上。

得证。

shyaka

superopengl 发表于 24-11-2013 21:22

                               
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楼上的证法不严密，没有证明XPY为锐角时的情况。

我的证法：

XPY为锐角是指？。。。

你这样也可以，不过你漏了一种四边形，即有一个角>180°的四边形。这种四边形的P点和Q点在四边形外面。。。

superopengl

shyaka 发表于 24-11-2013 21:47

                               
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XPY为锐角是指？。。。

你这样也可以，不过你漏了一种四边形，即有一个角>180°的四边形。这种四边形的 ...

只要是凸四边形，P、Q都在四边形内。凹四边形面积 ＜ 三角形 ＜ 凸四边形。

Dux

shyaka 发表于 24-11-2013 16:36

                               
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这个很简单。
javascript:;
如图所示，四边形内任意一点P到四边形的四个顶点作连线，形成了4个角：APB,BP ...

因为角APB+角BPC+角CPD+角DPA=360°；
所以这4个角中至少有一个角>=90°；

同理必有一角<=90°
假设角APB为锐角，则P在半圆外。
未得证。

因为P点是四边形内任意一点；
所以这四个半圆覆盖了整个四边形。

最后一步似乎跨度太大了？这个方法似乎只能证明四边形内任意一点P必在以其中一个边为直径的半圆内/上。

shyaka

Dux 发表于 25-11-2013 02:42

                               
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同理必有一角

只要在一个半圆上或内就行了。你说的“似乎。。。”不就是题目要被证明的东西么？。。。。

苏丝红

坛子里高人多啊

Tbaussie

Dux 发表于 25-11-2013 02:42

                               
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同理必有一角

已经证明完了，锐角可以忽略

钝角：已经证明了任何一个点都在某一个半圆内，则所有点都在四个半圆的某一个半圆内。
锐角：任何一个点都在某一个半圆外，根本没有意义，因为不能也没必要证明是否也不再另三个半圆内，只要证明在某一个半圆内就好了

对否？

苏丝红

superopengl 发表于 24-11-2013 21:22

                               
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楼上的证法不严密，没有证明XPY为锐角时的情况。

我的证法：

你這種方法簡單易懂，多謝！不過確實在凹四邊形時較難推理。
shyaka的方法是證明四邊形中任一點在任一半圓中。
P一定不包括在形成銳角那一邊的半圓中，但一定在形成鈍角那一邊的半圓中，或落在形成直角那一邊半圓的圓周上。

Dux

shyaka 发表于 25-11-2013 11:42

                               
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只要在一个半圆上或内就行了。你说的“似乎。。。”不就是题目要被证明的东西么？。。。。

哦还真的是，哈哈，学习了！

Dux

Tbaussie 发表于 25-11-2013 12:48

                               
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已经证明完了，锐角可以忽略

钝角：已经证明了任何一个点都在某一个半圆内，则所有点都在四个半圆的 ...

对的，谢谢解释。热心的朋友