神奇的数学(VII) – 难不倒的无穷旅社

行者之心

2020-09-01

想象我们开设了一个旅馆，这个旅馆有很多房间，每一个房间都编了号，1，2，3，等等。如果这个旅馆只有10个房间，房间号就是从1号一直排到10号。如果规定一个房间只能住一位客人。如果来的客人比房间数目多，那么我们的旅馆就容纳不下所有客人，这个很容易理解。
假如我们这个旅馆有无穷多房间，排的房号正好是所有的自然数：1，2，3，…，那我们是不是就可以高枕无忧了呢？我们来试试看。
有一天，突然来了无穷多客人，他们也正好排了号：1，2，3，…。无疑客人数和房间数正好相等，每一个客人都住到自己好吗相对应的房间去，就刚好把所有房间住满，完美。
然而我们客满了，这时又来了一个新客人也要住店，怎么半？因为每个房间都住满了，如果房间数是有限的，就没有办法安排新来的客人，但如果房间数是无限的，则有办法。方法是把1号客人移到2号房间，2号客人移到3号房间，3号客人移到4号房间。。。反正是有无穷多房间，每个客人都往前移动一位，最后就把1号房间空出来了。
当然，这个方法不仅对多来一位新客人有效，就是多来10位新客人，也可以如法炮制，方法是每个已经住店的客人往前挪10个房间就好了。
然而问题并没有结束，这时突然又来了无穷多客人怎么半？办法还是有的，我们把1号客人移到2号房间，2号客人移到4号房间，3号客人移到6号房间，也就是把第n号客人移到第2n号房间。这样一来，所有偶数号房间都住满了人，但所有奇数号房间就全空了出来。而所有奇数数目也是无穷多，实际就空出无穷间房间可以给新来的无数名客人住。
上面我们说的无穷多实际是不太精确的概念，应该说和所有自然数一样多的数。而所有自然数的数目数学家给它起个名字叫阿列夫零，记作ϰ0。
从上面的推理我们知道：

• ϰ0 + 1 = ϰ0
• ϰ0 + n = ϰ0 （n是任意一个自然数）
• ϰ0 + ϰ0 = ϰ0
  

从上面的等式可以看出所有偶数的数目居然和所有自然数数目一样多。这一点与直觉很不相同，因为偶数集合是自然数集合的一部分，数学公理之一就是整体大于部分，但当人们讨论无穷时，部分却可以和整体一样大了！
然而事情还没有完，还有更神奇的结果。我们分析一下有理数。每一个有理数可以看成是一对整数的商，也就是一个有理数对应两个整数。那么应该有多少个不同的有理数呢？为回答这个问题，我们先看一个简单的例子。
假如一个人有三种不同颜色的上衣和两种不同颜色的裤子，那么这个人穿衣服能有多少种不同的组合搭配呢？答案很显然，2 × 3 = 6种。因为整数的个数是ϰ0，那么由两个整数组合起来的有理数个数应该是ϰ0 × ϰ0 （这里我们忽略不同整数对可以对应于同一有理数的特殊情况）。根据直觉 ϰ0 × ϰ0 应该远大于ϰ0，然而事实正相反，可以证明：

• ϰ0 × ϰ0 = ϰ0
  

这也意味着所有整数的个数等于所有有理数的个数。那我们这个无穷旅馆甚至可以住下所有有理数那么多的客人，是不是很神奇。
那么能不能说我们的无穷旅馆可以解决任何无穷客人的住宿问题呢？可惜问题没有那么简单。至于客人多到什么程度我们的无穷旅馆才招架不住时，我们留到下回再讲。

snapdragon

“至于客人多到什么程度我们的无穷旅馆才招架不住时，我们留到下回再讲。” 期待下回早点出来分解。

欧阳京

“反正是有无穷多房间，每个客人都往前移动一位，最后就把1号房间空出来了。”

请告诉我什么时候移完？什么时候最后一个客人才可以住下？如果要无穷的时间才能移完，你这个“最后”的意思是什么？

数学的本质是时间直觉，几何的本质是空间直觉。

如果时间上无法“直觉”到，例如无穷大，那么数学是不是有违它的本质？难道不成了文字游戏？或者tautology？

行者之心

欧阳京 发表于 3-9-2020 15:52
“反正是有无穷多房间，每个客人都往前移动一位，最后就把1号房间空出来了。”

请告诉我什么时候移完？ ...

至于最后一个客人什么时候移完，这个问题没法回答，因为 1. 不存在最后一个客人， 2. 一个客人移到到下一个房间的时间并没有给出来。

这个思路的关键不是说最后一个客人，而是任何一个客人你都能解决。比如说地100001号客人，他就移到100002号房间就好了。我们还可以让所有的客人同时移动，这样就不会有累计移到时间的问题。

关于无穷大的证明，数学上已经认可。所有自然数的数目是和所有有理数的数目是一样多的。我把这个证明省略了，因为这个文章本来不希望涉及复杂的数学证明和计算，不过欧阳兄感兴趣可以去网上查一下，其实不能。另外一个证明就是证明所有无理数的数目比整数多，这个证明也不难，而且和有技巧性，叫做对角线证明法，这个方法在处理很多无穷集合时都有用，欧阳兄看兴趣也可以查一下。

欧阳京

以前读过这个故事，但是没有用心想。

这次想了一下。
无穷大是个概念，concept，而不是实际的存在，无穷大是不可以直觉到。

康德石破天惊的名言：concept without intuition is empty，intuition without concept is blind。其实就是说无穷大这个东西的。

它是不可证明也不可证否的。

打个比方，如果说宇宙没有起点，那么它就意味着往前数时间，一分一秒，数不清，类似于负无穷大。如果有负无穷大，意味着现在这个时间点按理永远也不会到来，但是现在却到来了，所以宇宙必定有起点，没有负无穷大。

但是宇宙有起点意味着起点之前没有时间，这也不可思议。所以，宇宙有没有起源是一个典型的哲学困境。

无穷大也是这个这样的困境，如果有无穷大，那么负无穷大减一呢？即时间再往前推一秒种呢？又是什么呢？

行者之心

欧阳京 发表于 3-9-2020 22:00
以前读过这个故事，但是没有用心想。

这次想了一下。

无穷大，应该说无穷多只是一个泛称。数学上对它们有更认真的研究，当然这些都是出于概念。

无穷多中最小的一个是阿列夫零，它等于自然数的个数，你如果看我这个系列的下一篇就有更多的介绍。更详细的介绍可以看：
https://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number

欧阳京

行者之心 发表于 3-9-2020 22:22
无穷大，应该说无穷多只是一个泛称。数学上对它们有更认真的研究，当然这些都是出于概念。

无穷多中最 ...

你没有认真读我的回复。

无穷小是无穷大的倒数，同一个概念的两种形式而已。

同样，无穷小也无法证明存在。

这里可以谈谈芝诺悖论：

芝诺说“阿基里斯永远追不上乌龟”，其实还有一种解法：因为运动是连续的，连续意味着两个的任意的位置之间，有无穷个位置（间隔无穷小），阿基里斯追乌龟时，需要经历无穷个位置才能达到乌龟的先前位置，那么意味着他永远无法追上乌龟。

这个时候，也许只有量子论可以做我们的救星：运动和能量一样，都是必须以最小单元即量子等级来进行。而时间是衡量运动的直觉，所以没有无穷小的时间片，也没有无穷小的空间片。

这样解决无穷小不存在的问题，即变相解决了无穷大不存在的问题。

欧阳京

欧拉曾证明0.99999999999... = 1，方法如下：

令 S=0.99999999999...
则 10S=9.9999999999...

两式相减可得：
10S-S =9.9999999999... - 0.99999999999...
9S =9
S=1
即 0.99999999999...=1

Q.E.D

显然，这意味着无穷小不存在。即无穷大（等于1除以无穷小） 不存在。

阿弥

无穷小和无穷大的概念感觉其实还是直觉就行啦。或者加上阴阳八卦图。
数学其实是把自己绕进去了，不过也是阐述世界，互相交流的一种方式。是一种语言。

行者之心

欧阳京 发表于 3-9-2020 23:15
欧拉曾证明0.99999999999... = 1，方法如下：

令 S=0.99999999999...

有道理

行者之心

阿弥 发表于 4-9-2020 08:19
无穷小和无穷大的概念感觉其实还是直觉就行啦。或者加上阴阳八卦图。
数学其实是把自己绕进去了，不过也是 ...

是啊