神奇的数学（IV）- 挑剔的河神

行者之心

2020-08-23

数学的伟大在于可以正确认识自己的极限，虽然这绝对不是一件容易的事。

古希腊人发明了几何学，其中一项技术就是尺规作图。意思是只允许用一个没有刻度的直尺和一个圆规去画任何想要的图案。

虽然这两样工具都非常简单，然而人的才智却可以通过它们得以充分发挥，如同一位杰出的画师可以用一只笔描绘出美丽的世界，一个数学家仅通过一把直尺和一个圆规就可以构造出异常丰富复杂的几何图形（想想看七巧板可以拼凑的复杂图案）。当然有些图形是非常不容易实现的，比如正17边形。然而天才数学家高斯就成功地使用尺规作图画出完美的正17边形，他对自己的这项成就如此自豪，以至于他遗嘱中要求在他的墓碑上刻上一个正17边形。

然而在人们通过尺规作图完成一项又一项惊人业绩时，有一件看起来非常简单的问题却难倒了当时所有的数学家。

事情是这样的，古希腊的一条河不知出于什么原因突然连年河水泛滥，人们去找河神的祭司。祭司在经过一番仪式和河神取得联系后告诉大家，河神抱怨他的神龛（一个正立方体的盒子）太小了，需要把它的体积增大一倍，这样河神就会满意，河水也不会泛滥了。

众人一听到这个要求后感觉很简单，于是就做了一个长度是原来两倍的正立方体盒子献给河神。然而那年河水反而泛滥得更厉害了。人们于是去质问祭司到底怎么回事。祭司回答道，河神要求神龛体积增大一倍，但你们把边长增大一倍，体积实际是原来得8倍，这当然更不合河神心意了，必须做一个神龛体积是原来的二倍。

我们知道正立方体的体积是边长的三次方。假设原来神龛边长为一，体积也是一，如果要做一个体积为二的正立方体，边长必须是二开三次方。祭司一解释，大家恍然大悟，于是请数学家用尺规作图方法做出二开三次方。可是这个看似不难的问题则一下让所有数学家大伤脑筋。上一次我们讲到二开二次方，也就是根号二√2。用尺规作图法做出√2非常容易，只需要做出两边都是1的直角三角形，那么斜边就是√2。但所以数学家努力了几个月甚至几年都没能做出二开三次方，所以河神的怒气也就很多年都没有平息掉。这个问题一直萦绕着数学家的脑子几百年。人们尝试许多非常精巧复杂的办法但都未能达到满意的结果

后来在现代数学的发展中，人们终于意识道尺规作图的局限性，最后成功证明尺规作图无论方法多么巧妙，绝无可能做出二开三次方，一个困扰数学家多年的数学难题终于证明不可解。

如果从实用的角度看二开三次方约等于1.2599。从工艺上制作一个体积大一倍的正立方体根本不是什么难题，但从纯数学的角度研究，这就是一个非常有趣，有挑战性的问题。数学的魅力正在于此，它给出真正意义上的无穷可能，但还可以明确指出自己的极限，最伟大的数学家就是那些能构造出新的概念来一次次突破现有极限的先驱。

snapdragon

最伟大的数学家就是那些能构造出新的概念来一次次突破现有极限的先驱

以前有同学说，她认为真正聪明的人是数学好的人，其他科目只是用功就可以好。说得虽然有些偏颇，但从这个角度上来说，我认识的最聪明的头脑便是楼主了。

真的，不是花式赞美

行者之心

annahw 发表于 23-8-2020 22:16
最伟大的数学家就是那些能构造出新的概念来一次次突破现有极限的先驱

以前有同学说，她认为真 ...

不敢啊，我上北大时，见到一些非常厉害的同学，他们的数学能力我是远远不及，但他们和最伟大的数学家还远不能同日而语。最伟大的数学家，比如欧拉，高斯，伽罗华，莱布尼兹，康托尔，拉马努金，只是默念这些人的名字就如同祷告一样给人带来灵感和力量

snapdragon

行者之心 发表于 23-8-2020 22:24
不敢啊，我上北大时，见到一些非常厉害的同学，他们的数学能力我是远远不及，但他们和最伟大的数学家还远 ...

“越是聪明人，越要懂得下笨功夫。”越是厉害的人，越是谦虚。

默念名字就能同祷告一样带给人灵感和力量？这个……我默念了一下毕达哥拉斯，然后舌头就打结了。 还是祷告词更盲目些

snapdragon

楼主说起这个，我去找了正十七边形的来历:

德国哥廷根大学有个19岁青年非常具有数学天赋，
他每天例行作三道导师给他的数学题目。
有天他像往常一样拿 到3 E题数学题目，
前两道他用了两个多小时就顺利完成，
第三道题目写在一张小纸条上,
要求他用一个圆规跟一把没有刻度的尺，
画出一个正十七边形。

他感到非常吃力，从来没有遇过这麼令他头痛的题目,
他绞尽脑汁却毫无进展，自己学过的数学知识似乎对这到题目没有-点帮助。不过困难激起了他的斗志,他一边思索一边尝试着各种超乎常理的推演。


当窗口曙光渐渐照进屋内,
青年舒了一口气，
他终于完成了这到题目。
见到导师时青年有点内疚和自责,
他对导师说:您给我的三道题目，
我竟然通宵作了-整晚，我辜负了您的栽培..导师接过青年的作业-看，
当场惊呆了,他用颤抖的声音对青年说:这真的是你作的吗?
他要青年拿出圆规和尺作一-次给他瞧瞧，当青年完成时，导师激动的对他说:
你知道你解开了两千多年的数学悬案!阿基米德没有解决，牛顿也没有解决,你竟然用了一晚把它解开了! !你真是一个天才! !

给我们的启示:

当天那纸条是导师不小心交给青年的,当青年回忆这一幕时，总是说:
如果我知道那是一道两千多年的历史数学难题,我可能永远没有信心把它解开。

这位青年就是数学王子高斯。
有些事情，在不清楚有多难时,
我们往往能够做得更好!

真正的困难不是困难本身，而是我们对困难的畏惧。

行者之心

annahw 发表于 1-9-2020 19:31
正十七边形的来历:

德国哥廷根大学有个19岁青年非常具有数学天赋，

谢谢分享

snapdragon

摘抄 agian:

步骤一:给一圆O,作两垂直的直径OA、OB, 作C点使OC= 1/4OB, 作D点使∠OCD= 1/4∠OCA, 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。

步骤二:作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点， 此圆交OB于F点，再以D为圆心，作- -圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三:过G4作OA垂直线交圆0于P4, 过G6作OA垂直线交圆O于P6, 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点， P6为第六顶点。以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正+七边形的所有顶点。

行者之心

annahw 发表于 1-9-2020 20:45
摘抄 agian:

步骤一:给一圆O,作两垂直的直径OA、OB, 作C点使OC= 1/4OB, 作D点使∠OCD= 1/4∠OCA, 作AO延 ...

小蜜蜂要不要亲自画一个贴上来